Зміст
Наше сучасне розуміння потужності випливає з роботи Георга Кантора в 1890-х рр .. Набори можуть мати три типи кардиналу: кінцевий, лічильний і незліченний. Кінцеві множини можуть мати певну присвоєну кількість, таку як їх потужність: кількість елементів у наборі. І рахункові, і незліченні набори нескінченні. Кантор був першим математиком, який вказував, що характеристика нескінченного множини полягає в тому, що його можна покласти в один на один листування, з власною підмножиною себе.
Інструкції
-
Дайте конкретне число для множини потужності, якщо вона кінцева. Для цих множин потужність - це кількість об'єктів у ній. Для нескінченності неможливо позначити конкретне число для потужності - ми можемо використовувати лише одне описове слово. Підмножина множини є такою, яка містить деякі - але не всі - з набору чисел, але ніхто не знаходиться в ній. Наприклад, підмножина букв у португальському алфавіті - це літери слова «банан». Для кінцевих множин належні підмножини менші, ніж множина. Що не стосується нескінченних множин.
-
Почніть з конкретного елемента множини і зберігайте назавжди, специфічним чином, щоб перерахувати всі елементи множини. Це визначення обліку нескінченного множини. Ключовою особливістю є те, що існує алгоритм для переліку всіх елементів вічно. Архетипний лічильний нескінченний набір - це цілих чисел. Почніть з "одного" і продовжуйте наступний послідовний номер. Ви не можете дати велику кількість, ви тільки скажете, що вона вічна. Зауважте, що для кожного цілого числа є відповідне парне число, яке буде вдвічі більшим. Існує стільки чисел, скільки є парні числа. Між набором і належним підмножиною цього набору існує відповідність один-на-один.
-
Порівняйте набір з числами між нулем і одиницею, щоб побачити, чи нескінченна вона. Ви не можете почати їх підрахунок, тому що після числа від нуля до одиниці немає "наступного" числа. Кантор подав приклад, щоб допомогти з інтуїтивним розумінням безлічі множин: точок і ліній. Точки не довгі або широкі, навіть якщо лінія складається з точок. Якщо рядки є нескінченністю точок, довжина лінії буде 0 + 0 + 0 і так далі, назавжди. Лінії повинні мати незліченну кількість точок.
Як
- Тест Кантора - це перевірити, чи мають два множини однакові потужності, якщо елементи множини можуть співпадати один за одним з іншим.
Повідомлення
- Арифметика буде працювати тільки для кінцевих множин. Якщо N є одночасно лічильною і нескінченною, N + 1 = 200N = N + N = N.